复数概念的另一种引入方式

在刚接触复数概念时,我们总是从 $\sqrt{-1}$ 入手,强行定义一个 $\text{i}=\sqrt{-1}$,然后再去定义复数的概念、运算规则,探究复数的性质。这也许会使很多人感到困惑:强行定义一个符号表示负数开平方根,然后搞出各种运算规则,究竟有什么意义?为此,我希望能暂时抛开 $\sqrt{-1}$ 的定义,从另一个角度引入复数的概念。

工程数学中经常会处理平面上的位置矢量。平面座标系有两个维度,使用两个实数来表示一个确定的位置。我们把平面中的位置矢量座标写成二元组[1]的形式

$$ $$

将这个二元组视为一个数,此即为复数。

对于复数基本运算(以及一些基本初等函数)的定义,我们要尽量保证在虚部等于 0 时,复数运算退化为相应的实数运算。也就是说,将实数运算视为复数运算的特例(虚部为零时)。在这种情况下,复数运算便可使用与相应实数运算相同的符号而不引起混淆。

矢量常见的操作是把多个矢量等效为一个矢量,即矢量的求和。

据此我们定义复数的加法运算 \(+_c\) 为

$$ +c <x2, y2> = <x1+x2, y1+y_2> $$

这个定义显然满足上面所说的退化原则。

教材上复数的法为 \(a+b\text{i}\)。在这种写法里,实部与虚部间的加号没有运算的意义,只有分隔符号的意义,因为实部和虚部是不能相加的。如果按照上面的加法定义,复数加法可写为

$$ a+b\text{i}+_cc+d\text{i}=(a+c)+(b+d)\text{i} $$

如果我们把复数加法 \(+_c\) 也用实数加法运算符号 $+$ 来替换,那么复数加法运算式在形式上就相当于应用了实数运算中加法的交换结合律。将第一个复数的虚部与第二个复数的实部交换位置,再将实部与虚部分别结合,这时复数中的加法符号就拥有了运算的意义。因此,教材上的复数写法会在实部与虚部间使用一个加号,并且复数间的加法运算与实数加法使用同一个符号,也是加号。

接下来我们讨论复数的乘法。有的读者也许会立刻想到这样的定义:

$$ \timesc<x2,y2>=<x1x2,y1y_2> $$

如果是这样定义,那么复数运算也就同实数没有区别,复数概念也就没有存在的必要了。复数的独特性也正是体现在它乘法的定义上。我们来考察平面上矢量的旋转。

它的运算过程是这样。

$$ \begin{bmatrix}x2\y2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}r\cos(\theta+\phi)\r\sin(\theta+\phi)\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\cos\phi & -\sin\phi\\sin\phi&\cos\phi\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x1\y1\end{bmatrix}

$$

据此我们定义复数的乘法如下。

$$ \timesc<x2,\space y2>=<x1x2-y1y2,\space x1y2+x2y_1> $$

这个定义也满足退化原则。当两个复数虚部皆为 0 时,我们得到实数的乘法运算。

按照教材上复数的写法,并把复数乘法运算 \(\times_c\) 写成实数乘法符号 \(\times\),复数的乘法即为

$$ (a+b\text{i})\times(c+d\text{i})=ac-bd+(ad+bc)\text{i} $$

在形式上就相当于执行了实数乘法的分配律,并且有 \(\text{i}^2=-1\)。

减法与除法分别为加法与乘法的逆运算。至此,我们完成了复数基本运算的定义。


[1] 元组是计算机科学中的术语,指同类型元素的有序排列。元组与集合的差异是:元组中元素可以重复,集合不可以;元组中元素有顺序,集合没有。